Упр.10.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\sin x, & -\pi\leq x\leq 0,\\ \sqrt{x}, & x>0.\end{cases}$$
а) Вычислите: $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right),\ f(0),\ f(1),\ f\left(\pi^2\right)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

Подробный ответ

$$f(x)= \begin{cases} \sin x, & -\pi \le x \le 0,\\ \sqrt{x}, & x>0. \end{cases}$$

Найдём значения функции:

$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f(1)=\sqrt{1}=1,$$

$$f(\pi^2)=\sqrt{\pi^2}=\pi.$$

На отрезке $$[-\pi;0]$$ строим график функции $$y=\sin x$$. Для этого достаточно отметить точки:

$$(-\pi,0),\quad \left(-\frac{\pi}{2},-1\right),\quad (0,0).$$

При $$x>0$$ строим график функции $$y=\sqrt{x}$$, начиная с точки $$(0,0)$$ и используя, например, точки:

$$(1,1),\quad (4,2),\quad (\pi^2,\pi).$$

Итак, график функции состоит из дуги синусоиды на $$[-\pi;0]$$ и ветви графика $$y=\sqrt{x}$$ при $$x>0$$.

По графику получаем:

область определения: $$D(f)=[-\pi;+\infty);$$
множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty);$$
функция убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$;
функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};+\infty\right);$$
$$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty);$$
$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\pi;0);$$
наименьшее значение: $$\min f(x)=-1,$$ оно достигается при $$x=-\frac{\pi}{2};$$
функция не является ни чётной, ни нечётной;
функция не периодическая;
функция непрерывна на всей области определения.