Упр.10.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является чётной, если:
   а) $$f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}$$;
   б) $$f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$$;
   в) $$f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}$$;
   г) $$f(x)=\sin^2 x-x^4$$.

Проверим, что для каждого выражения выполняется равенство $$f(-x)=f(x).$$

1. $$f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}.$$

   Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=(-x)^5\sin\frac{-x}{2}=-x^5\cdot\left(-\sin\frac{x}{2}\right)=x^5\sin\frac{x}{2}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}.$$

   Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm1.$$

   Область определения симметрична относительно нуля. Тогда

   $$f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1} =\frac{(-\sin x)^2}{x^2-1} =\frac{\sin^2 x}{x^2-1} =f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Тогда

   $$f(-x)=\frac{2\sin\frac{-x}{2}}{(-x)^3} =\frac{2\left(-\sin\frac{x}{2}\right)}{-x^3} =\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3} =f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$f(x)=\sin^2 x-x^4.$$

   Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=\sin^2(-x)-(-x)^4 =(-\sin x)^2-x^4 =\sin^2 x-x^4 =f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: во всех пунктах функция чётная.