Упр.10.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является нечетной, если:
- а) $$f(x)=x+\sin x$$;
- б) $$f(x)=x^3\cdot\sin x^2$$;
- в) $$f(x)=\frac{x^2\cdot\sin x}{x^2-9}$$;
- г) $$f(x)=x^3-\sin x$$.
Проверим для каждой функции, что область определения симметрична относительно нуля и выполняется равенство $$f(-x)=-f(x).$$
$$f(x)=x+\sin x$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Тогда
$$f(-x)=-x+\sin(-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=x^3\sin x^2$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Тогда
$$f(-x)=(-x)^3\sin(-x)^2=-x^3\sin x^2=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}$$
Область определения: $$x^2-9\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 3.$$
Область определения симметрична относительно нуля. Найдём $$f(-x):$$
$$f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9}=\frac{x^2(-\sin x)}{x^2-9}=-\frac{x^2\sin x}{x^2-9}=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=x^3-\sin x$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$
Тогда
$$f(-x)=(-x)^3-\sin(-x)=-x^3+\sin x=-(x^3-\sin x)=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Ответ: все данные функции нечётные.
