Упр.1.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2{,}5x}}$$
б) $$y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$$
в) $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$$
г) $$y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$$

Найдём область определения каждой функции.

1. $$y=\sqrt{2x-4}+\frac{2x+3}{\sqrt{10-2,5x}}$$

   Для существования корня и знаменателя нужно:

   $$\begin{cases} 2x-4\ge 0,\\ 10-2,5x>0. \end{cases}$$

   Решаем неравенства:

   $$x\ge 2,\qquad x<4.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[2;4).$$

2. $$y=\sqrt{10x-3x^2-3}+\frac{3x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{1}{25-4x^2}$$

   Получаем систему условий:

   $$\begin{cases} 10x-3x^2-3\ge 0,\\ x^2-4>0,\\ 25-4x^2\ne 0. \end{cases}$$

   Первое неравенство:

   $$10x-3x^2-3\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 3x^2-10x+3\le 0.$$

   $$D=100-36=64,\qquad x_1=\frac{1}{3},\; x_2=3.$$

   Значит,

   $$\frac{1}{3}\le x\le 3.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2-4>0 \;\Longleftrightarrow\; x<-2 \text{ или } x>2.$$

   Третье условие:

   $$25-4x^2\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; x\ne \pm 2,5.$$

   Пересечение всех условий даёт:

   $$D(y)=(2;2,5)\cup(2,5;3].$$

3. $$y=\sqrt{2x^2-5x+2}+\frac{2x^2-4}{\sqrt{10-2x}}$$

   Нужно, чтобы выполнялись условия:

   $$\begin{cases} 2x^2-5x+2\ge 0,\\ 10-2x>0. \end{cases}$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$2x^2-5x+2=0,$$

   $$D=25-16=9,\qquad x_1=\frac{1}{2},\; x_2=2.$$

   Тогда

   $$2x^2-5x+2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le \frac{1}{2} \text{ или } x\ge 2.$$

   А из второго условия:

   $$x<5.$$

   Пересечение:

   $$D(y)=\left(-\infty;\frac{1}{2}\right]\cup[2;5).$$

4. $$y=\sqrt{x^2-36}+\frac{5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10}}-\frac{\sqrt[3]{x}}{x^4-2401}$$

   Составим систему ограничений:

   $$\begin{cases} x^2-36\ge 0,\\ 11x-x^2-10>0,\\ x^4-2401\ne 0. \end{cases}$$

   Первое условие:

   $$x^2-36\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; |x|\ge 6.$$

   Второе условие:

   $$11x-x^2-10>0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-11x+10<0.$$

   $$x^2-11x+10=(x-1)(x-10),$$

   поэтому

   $$1<x<10.$$

   Третье условие:

   $$x^4-2401\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; x^4\ne 7^4 \;\Longleftrightarrow\; x\ne \pm 7.$$

   Пересекаем все условия:

   $$D(y)=[6;7)\cup(7;10).$$