Упр.1.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases} x^2+4x+5, & -4\leq x<0,\\ 5-2x, & 0\leq x<2,\\ \frac{2}{x}, & x\geq 2. \end{cases}$$
а) Найдите $$f(-5)$$, $$f(-3)$$, $$f(0)$$, $$f(4)$$;

б) постройте график функции;

в) найдите $$D(f)$$;

г) найдите $$E(f)$$.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x^2+4x+5, & -4\le x<0,\\ 5-2x, & 0\le x<2,\\ \dfrac{2}{x}, & x\ge 2. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-5)\text{ не существует, так как }-5\notin D(f).$$

$$f(-3)=(-3)^2+4\cdot(-3)+5=9-12+5=2.$$

$$f(0)=5-2\cdot 0=5.$$

$$f(4)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12.$$

б) Построим график по частям:

на отрезке $$-4\le x<0$$ — часть параболы $$y=x^2+4x+5$$;
на промежутке $$0\le x<2$$ — отрезок прямой $$y=5-2x$$;
при $$x\ge 2$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$.

Опорные точки:

$$(-4;5),\;(-2;1),\;(0;5),\;(2;1),\;(4;\tfrac12).$$

в) Область определения:

$$D(f)=[-4;+\infty).$$

г) Множество значений:

На первом участке $$y=x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$, поэтому минимальное значение равно $$1$$, а наибольшее на этом участке — $$5$$. На втором участке значения лежат от $$1$$ до $$5$$, на третьем — от $$0$$ до $$1$$ (не включая $$0$$).

Следовательно,

$$E(f)=(0;5].$$