Упр.1.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения и область значений функции: а) $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$; б) $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$; в) $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$; г) $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$.

а) $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$

Область определения находим из условия, что знаменатель не равен нулю:

$$16x^2-49\ne 0$$

$$16x^2\ne 49$$

$$x\ne \pm \frac{7}{4}$$

Значит,

$$D(y)=\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right)\cup\left(-\frac{7}{4};\frac{7}{4}\right)\cup\left(\frac{7}{4};+\infty\right).$$

Найдём область значений. При $$|x|<\frac{7}{4}$$ знаменатель отрицателен, поэтому $$y<0$$. Наибольшее значение на этом промежутке достигается при $$x=0$$:

$$y(0)=\frac{1}{-49}=-\frac{1}{49}.$$

При $$|x|>\frac{7}{4}$$ знаменатель положителен, поэтому $$y>0$$. Тогда

$$E(y)=\left(-\infty;-\frac{1}{49}\right]\cup(0;+\infty).$$

б) $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$

Для области определения требуется:

$$x^2+4x+3\ge 0$$

$$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0$$

Отсюда

$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge -1.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty).$$

Так как корень квадратный неотрицателен, то

$$E(y)=[0;+\infty).$$

в) $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$

Область определения находим из условия:

$$9-25x^2\ne 0$$

$$25x^2\ne 9$$

$$x\ne \pm \frac{3}{5}$$

Значит,

$$D(y)=\left(-\infty;-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)\cup\left(\frac{3}{5};+\infty\right).$$

При $$|x|<\frac{3}{5}$$ знаменатель положителен, поэтому $$y>0$$, а при $$|x|>\frac{3}{5}$$ знаменатель отрицателен, поэтому $$y<0$$. При $$x=0$$ получаем

$$y(0)=\frac{1}{9}.$$

Следовательно,

$$E(y)=(-\infty;0)\cup\left[\frac{1}{9};+\infty\right).$$

г) $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$

Для области определения нужно:

$$3x-x^2+18\ge 0$$

$$x^2-3x-18\le 0$$

$$\left(x+3\right)\left(x-6\right)\le 0$$

Отсюда

$$-3\le x\le 6.$$

Значит,

$$D(y)=[-3;6].$$

Найдём наибольшее значение подкоренного выражения. Это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$y_{\max}=\sqrt{3\cdot \frac{3}{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2+18}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}.$$

Так как корень неотрицателен, то

$$E(y)=\left[0;\frac{9}{2}\right].$$

Ответ: а) $$D(y)=\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right)\cup\left(-\frac{7}{4};\frac{7}{4}\right)\cup\left(\frac{7}{4};+\infty\right),\ E(y)=\left(-\infty;-\frac{1}{49}\right]\cup(0;+\infty);$$ б) $$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty);$$ в) $$D(y)=\left(-\infty;-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5};\frac{3}{5}\right)\cup\left(\frac{3}{5};+\infty\right),\ E(y)=(-\infty;0)\cup\left[\frac{1}{9};+\infty\right);$$ г) $$D(y)=[-3;6],\ E(y)=\left[0;\frac{9}{2}\right].$$