Упр.99 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 99. В какой точке графика функции y=x+3/x надо провести касательную, чтобы эта касательная пересекла ось ординат в точке (0; 6)?

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда для функции

$$f(x)=x+\frac{3}{x}, \quad x\ne 0$$

производная равна

$$f'(x)=1-\frac{3}{x^2}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Так как касательная пересекает ось ординат в точке $$\left(0;6\right)$$, подставим $$x=0$$ и $$y=6$$:

$$6=f'(x_0)(0-x_0)+f(x_0).$$

Подставим $$f(x_0)$$ и $$f'(x_0)$$:

$$6=\left(1-\frac{3}{x_0^2}\right)(-x_0)+x_0+\frac{3}{x_0}.$$

Упростим:

$$6=-x_0+\frac{3}{x_0}+x_0+\frac{3}{x_0}=\frac{6}{x_0}.$$

Отсюда

$$x_0=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(1)=1+\frac{3}{1}=4.$$

Следовательно, точка касания — $$\left(1;4\right)$$.

Ответ

$$\left(1;4\right)$$