Упр.99 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В какой точке графика функции $$y=x+\frac{3}{x}$$ надо провести касательную, чтобы эта касательная пересекла ось ординат в точке $$(0; 6)$$?

Пусть касательная к графику функции $$y=x+\frac{3}{x}$$ проведена в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда

$$f(x_0)=x_0+\frac{3}{x_0}, \qquad f'(x_0)=1-\frac{3}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной имеет вид

$$y=\left(1-\frac{3}{x_0^2}\right)(x-x_0)+x_0+\frac{3}{x_0}.$$

Она пересекает ось ординат в точке $$\left(0;6\right)$$, значит при $$x=0$$ получаем

$$6=\left(1-\frac{3}{x_0^2}\right)(0-x_0)+x_0+\frac{3}{x_0}.$$

Упростим:

$$6=-x_0+\frac{3}{x_0}+x_0+\frac{3}{x_0}=\frac{6}{x_0}.$$

Отсюда

$$x_0=1.$$

Тогда

$$y_0=f(1)=1+\frac{3}{1}=4.$$

Искомая точка касания: $$\left(1;4\right).$$

Ответ: $$\left(1;4\right).$$