Упр.98 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 98. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-4, если эта касательная проходит через точку M(2; -1).

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда для функции $$f(x)=x^2-4$$ производная равна

$$f'(x)=2x,$$

значит, угловой коэффициент касательной в точке $$x_0$$ равен $$2x_0$$.

Уравнение касательной:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$

то есть

$$y=2x_0(x-x_0)+x_0^2-4.$$

Так как касательная проходит через точку $$M(2;-1)$$, подставим её координаты:

$$-1=2x_0(2-x_0)+x_0^2-4.$$

Упростим:

$$-1=4x_0-2x_0^2+x_0^2-4,$$

$$x_0^2-4x_0+3=0,$$

$$\left(x_0-1\right)\left(x_0-3\right)=0.$$

Отсюда

$$x_0=1 \quad \text{или} \quad x_0=3.$$

Найдём уравнения касательных:

при $$x_0=1$$:

$$y=2\cdot 1(x-1)+1^2-4=2x-5;$$

при $$x_0=3$$:

$$y=2\cdot 3(x-3)+3^2-4=6x-13.$$

Ответ

$$y=2x-5$$ или $$y=6x-13$$.