Упр.97 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Определите, является ли прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ касательной к графику функции $$y=vx$$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{x}.$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Если прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ является касательной к графику функции, то её угловой коэффициент должен совпадать со значением производной в точке касания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=1,\qquad \sqrt{x}=1,\qquad x=1.$$

Проверим значение функции и уравнения прямой при $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{1}=1,$$

$$y(1)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=1.$$

Значит, прямая действительно является касательной к графику функции, а абсцисса точки касания равна $$1$$.

Ответ

$$x_0=1.$$