Упр.97 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 97. Определите, является ли прямая y=1/2 x+1/2 касательной к графику функции y=vx. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для функции $$f(x)=\sqrt{x}$$ найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Если прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ является касательной к графику функции, то её угловой коэффициент должен совпадать со значением производной в точке касания:

$$f'(x)=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=1,\qquad \sqrt{x}=1,\qquad x=1.$$

Проверим значение функции и прямой при $$x=1$$:

$$f(1)=\sqrt{1}=1,$$

$$y(1)=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=1.$$

Значения совпадают, значит, прямая действительно является касательной.

Ответ

Да, является. Абсцисса точки касания: $$x_0=1$$.