Упр.95 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=0,5x^2-2x+2, x_0=0; 2) f(x)=ctg(x+?/4), x_0=-?/2.

1. Для касательной используем формулу
   $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

   1) $$f(x)=0{,}5x^2-2x+2,\quad x_0=0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=x-2.$$

   Тогда

   $$f'(0)=-2,\qquad f(0)=2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-2(x-0)+2=2-2x.$$

2. 2) $$f(x)=\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=-\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}.$$

   Подставим $$x_0=-\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{1}{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-2.$$

   Найдём значение функции в этой точке:

   $$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-1=-2x-\pi-1.$$

Ответ

1) $$y=2-2x$$; 2) $$y=-2x-\pi-1$$.