Упр.91 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 91. Решите неравенство 1-sin(3x)?(sin(x/2)-cos(x/2))^2.

Подробный ответ

Преобразуем правую часть:

$$ \left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^2 = \sin^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2} = 1-\sin x. $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ 1-\sin 3x \le 1-\sin x, $$
$$ \sin x-\sin 3x \le 0. $$

Используем формулу разности синусов:

$$ \sin x-\sin 3x = 2\cos 2x \sin(-x) = -2\sin x \cos 2x. $$

Получаем:

$$ -2\sin x \cos 2x \le 0, $$
$$ \sin x \cos 2x \ge 0. $$

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$ \sin x \ge 0,\quad \cos 2x \ge 0. $$
Тогда
$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
откуда
$$ -\frac{\pi}{4}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+\pi n. $$
С учётом условия $$\sin x \ge 0$$ получаем
$$ 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n. $$
$$ \sin x \le 0,\quad \cos 2x \le 0. $$
Тогда
$$ \frac{\pi}{2}+2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n, $$
откуда
$$ \frac{\pi}{4}+\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+\pi n. $$
С учётом условия $$\sin x \le 0$$ получаем
$$ \frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \pi+2\pi n. $$

Объединяя найденные промежутки, получаем:

$$ x \in \left[2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\pi+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}. $$