Упр.91 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство $$1-\sin(3x)?\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2.$$

$$1-\sin 3x\le \left(\sin \frac x2-\cos \frac x2\right)^2$$

Преобразуем правую часть:

$$\left(\sin \frac x2-\cos \frac x2\right)^2= \sin^2\frac x2-2\sin\frac x2\cos\frac x2+\cos^2\frac x2=1-\sin x.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$1-\sin 3x\le 1-\sin x,$$

откуда

$$\sin x-\sin 3x\le 0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin x-\sin 3x=2\cos 2x\sin(-x)=-2\sin x\cos 2x.$$

Получаем

$$-2\sin x\cos 2x\le 0,$$

то есть

$$\sin x\cos 2x\ge 0.$$

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

1. $$\sin x\ge 0,\quad \cos 2x\ge 0;$$
2. $$\sin x\le 0,\quad \cos 2x\le 0.$$

1) Если $$\sin x\ge 0$$ и $$\cos 2x\ge 0,$$ то

$$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

или

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,$$

$$n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x\le 0$$ и $$\cos 2x\le 0,$$ то

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$

$$n\in\mathbb Z.$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$x\in\left[2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\pi+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left[2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\pi+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$