Упр.90 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 4cos(x)cos(x+?/6) > v3; 3) 3+2sin(3x)sin(x) > 3cos(2x);
2) 2sin(x+?/3)cos(x) < v3; 4) cos(x+?/4)cos(x-?/4)?-v3/4.

1. $$4\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3}$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$2\cos x\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\frac{\pi}{6}$$

   Тогда
   $$ 2\left(\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)>\sqrt{3} $$
   $$ \cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)>0 $$

   Отсюда
   $$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x+\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}+2\pi n $$ $$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n $$ $$ -\frac{\pi}{3}+\pi n

2. $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos x<\sqrt{3}$$

   Преобразуем произведение:
   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos x=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\frac{\pi}{3}$$

   Тогда
   $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3} $$ $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2} $$

   Значит,
   $$ \frac{5\pi}{6}+2\pi n<2x+\frac{\pi}{3}<\frac{13\pi}{6}+2\pi n $$ и, следовательно, $$ \frac{7\pi}{12}+\pi n

3. $$3+2\sin 3x\sin x>3\cos 2x$$

   Используем формулу:
   $$2\sin 3x\sin x=\cos 2x-\cos 4x$$

   Тогда
   $$ 3+\cos 2x-\cos 4x>3\cos 2x $$
   $$ 3-2\cos 2x-\cos 4x>0 $$
   $$ 2\cos 2x+\cos 4x<3. $$

   Положим $$t=\cos 2x$$. Тогда $$\cos 4x=2t^2-1$$, и получаем
   $$ 2t+(2t^2-1)<3 $$ $$ t^2+t-2<0 $$ $$ (t+2)(t-1)<0. $$

   С учётом $$-1\le t\le 1$$ имеем
   $$ t<1. $$ Значит, $$ \cos 2x<1. $$ Это верно при всех $$x$$, кроме случаев $$ 2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$ Следовательно, $$ x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$$

   Применим формулу:
   $$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr)$$

   Тогда
   $$ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{2}\left(\cos 2x+\cos\frac{\pi}{2}\right) =\frac{1}{2}\cos 2x. $$

   Получаем
   $$ \frac{1}{2}\cos 2x\ge -\frac{\sqrt{3}}{4} $$
   $$ \cos 2x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   Тогда
   $$ -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   откуда
   $$ -\frac{5\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$\frac{7\pi}{12}+\pi n<x<\frac{11\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
3) $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
4) $$-\frac{5\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$