Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-?; -2]; 5) (-2; 1).

1. На промежутке $$[0;2]$$ функция $$f(x)=x^8$$ возрастает, так как при $$x \ge 0$$ большему значению $$x$$ соответствует большее значение $$x^8$$.
   Поэтому проверим концы промежутка:
   $$f(0)=0^8=0,$$
   $$f(2)=2^8=256.$$
   Следовательно,
   $$\min_{[0;2]} f(x)=0,\qquad \max_{[0;2]} f(x)=256.$$
2. На промежутке $$[-2;-1]$$ при отрицательных $$x$$ значение $$x^8$$ зависит только от модуля числа, поэтому чем меньше $$|x|$$, тем меньше $$x^8$$.
   Проверим концы:
   $$f(-2)=(-2)^8=256,$$
   $$f(-1)=(-1)^8=1.$$
   Значит,
   $$\min_{[-2;-1]} f(x)=1,\qquad \max_{[-2;-1]} f(x)=256.$$
3. На промежутке $$[-1;1]$$ функция достигает наименьшего значения в точке $$x=0$$:
   $$f(0)=0^8=0.$$
   Наибольшее значение достигается на концах промежутка:
   $$f(-1)=(-1)^8=1,\qquad f(1)=1^8=1.$$
   Поэтому
   $$\min_{[-1;1]} f(x)=0,\qquad \max_{[-1;1]} f(x)=1.$$
4. На промежутке $$(-\infty;-2]$$ при удалении от нуля модуль числа увеличивается, а значит, увеличивается и $$x^8$$.
   Наименьшее значение достигается в точке $$x=-2$$:
   $$f(-2)=(-2)^8=256.$$
   При $$x \to -\infty$$ значение $$f(x)$$ неограниченно возрастает, поэтому наибольшего значения нет.
   Следовательно,
   $$\min_{(-\infty;-2]} f(x)=256,\qquad \max_{(-\infty;-2]} f(x)\ \text{не существует}.$$
5. На промежутке $$(-2;1)$$ точка $$x=0$$ принадлежит промежутку, и
   $$f(0)=0^8=0.$$
   Это наименьшее значение функции. При приближении к $$x=-2$$ значение $$x^8$$ стремится к $$256$$, но точка $$-2$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшего значения нет.
   Значит,
   $$\min_{(-2;1)} f(x)=0,\qquad \max_{(-2;1)} f(x)\ \text{не существует}.$$

Ответ

1) $$\min=0,\ \max=256$$; 2) $$\min=1,\ \max=256$$; 3) $$\min=0,\ \max=1$$; 4) $$\min=256,\ \max$$ не существует; 5) $$\min=0,\ \max$$ не существует.