Упр.9.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=x^8$$ на промежутке: 1) $$[0; 2]$$; 2) $$[-2; -1]$$; 3) $$[-1; 1]$$; 4) $$(-?; -2]$$; 5) $$(-2; 1)$$.

Функция $$f(x)=x^8$$ принимает только неотрицательные значения и возрастает при $$x\ge 0$$, а при $$x\le 0$$ убывает по модулю к нулю и возрастает по мере удаления от нуля. Поэтому достаточно сравнить значения функции в концах промежутков и в точке $$x=0$$, если она принадлежит промежутку.

1. На промежутке $$[0;2]$$:

   $$f(0)=0^8=0,$$

   $$f(2)=2^8=256.$$

   Ответ: $$\min_{[0;2]} f(x)=0,$$ $$\max_{[0;2]} f(x)=256.$$

2. На промежутке $$[-2;-1]$$:

   $$f(-1)=(-1)^8=1,$$

   $$f(-2)=(-2)^8=256.$$

   Ответ: $$\min_{[-2;-1]} f(x)=1,$$ $$\max_{[-2;-1]} f(x)=256.$$

3. На промежутке $$[-1;1]$$:

   $$f(0)=0^8=0,$$

   $$f(-1)=(-1)^8=1,$$

   $$f(1)=1^8=1.$$

   Ответ: $$\min_{[-1;1]} f(x)=0,$$ $$\max_{[-1;1]} f(x)=1.$$

4. На промежутке $$(-\infty;-2]$$:

   при $$x\to -\infty$$ значение $$x^8$$ неограниченно возрастает, а наименьшее значение достигается в точке $$x=-2$$:

   $$f(-2)=(-2)^8=256.$$

   Ответ: $$\min_{(-\infty;-2]} f(x)=256,$$ $$\max_{(-\infty;-2]} f(x)$$ — не существует.

5. На промежутке $$(-2;1)$$:

   $$f(0)=0^8=0.$$

   При $$x\to -2+0$$ или $$x\to 1-0$$ значение функции стремится к $$256$$ и $$1$$ соответственно, но эти точки не входят в промежуток, поэтому наибольшее значение не достигается.

   Ответ: $$\min_{(-2;1)} f(x)=0,$$ $$\max_{(-2;1)} f(x)$$ — не существует.