Упр.9.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 9.4. Следует ли из неравенства x_1 > x_2, что x_1^n > x_2^n, если: 1) n — чётное; 2) n — нечётное?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^n.$$

Если $$n$$ — нечётное, то функция $$f(x)=x^n$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому из неравенства $$x_1>x_2$$ следует

$$x_1^n>x_2^n.$$

Если $$n$$ — чётное, то функция $$f(x)=x^n$$ не является возрастающей на всей области определения: при отрицательных значениях $$x$$ она убывает, а при положительных — возрастает. Поэтому из $$x_1>x_2$$ не всегда следует, что $$x_1^n>x_2^n$$.

Например, при $$x_1=-1$$ и $$x_2=-2$$ имеем $$x_1>x_2$$, но при чётном $$n$$

$$(-1)^n=1,\quad (-2)^n=2^n,$$

и тогда $$(-1)^n<(-2)^n.$$

Ответ

1) нет; 2) да.