Упр.9.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 9.15. Решите уравнение 11x^15+2x^4=-9.

Преобразуем уравнение:

$$11x^{15}+2x^4=-9.$$

Так как при $$x=0$$ левая часть равна $$0$$, а правая — $$-9$$, то $$x\neq 0$$. Разделим обе части на $$x^{15}$$:

$$11+\frac{2}{x^{11}}=-\frac{9}{x^{15}}.$$

Положим $$t=\frac{1}{x}$$. Тогда получаем:

$$11+2t^{11}=-9t^{15},$$

или

$$2t^{11}+9t^{15}=-11.$$

Рассмотрим функцию

$$F(t)=2t^{11}+9t^{15}.$$

Обе её слагаемые — возрастающие функции на $$\mathbb{R}$$, значит, и сама функция $$F(t)$$ возрастает на всей числовой прямой. Следовательно, уравнение $$F(t)=-11$$ имеет не более одного решения.

Проверим значение $$t=-1$$:

$$2(-1)^{11}+9(-1)^{15}=-2-9=-11.$$

Значит, $$t=-1$$ — единственное решение. Тогда

$$\frac{1}{x}=-1,$$

откуда

$$x=-1.$$

Ответ

$$-1$$