Упр.9.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 9.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^6 на промежутке [а; 2], где a < 2.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^6.$$

Она чётная и убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$, а на промежутке $$[0;+\infty)$$ возрастает. Поэтому на отрезке $$[a;2]$$ нужно сравнить значения функции в точках $$a$$, $$0$$ и $$2$$, если эти точки принадлежат отрезку.

Найдём значение в правом конце отрезка:

$$f(2)=2^6=64.$$

Также

$$f(0)=0^6=0.$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$-2 \le a \le 0,$$ то точка $$0$$ принадлежит отрезку $$[a;2].$$

   Тогда наименьшее значение достигается в точке $$x=0$$, а наибольшее — в точке $$x=2$$:

   $$\min\limits_{[a;2]} f(x)=0,\qquad \max\limits_{[a;2]} f(x)=64.$$

2. Если $$0<a<2,$$ то на всём отрезке функция возрастает.

   Значит,

   $$\min\limits_{[a;2]} f(x)=f(a)=a^6,\qquad \max\limits_{[a;2]} f(x)=f(2)=64.$$

3. Если $$a<-2,$$ то точка $$0$$ также принадлежит отрезку $$[a;2],$$ и слева от нуля функция убывает, а справа возрастает.

   Следовательно,

   $$\min\limits_{[a;2]} f(x)=0,\qquad \max\limits_{[a;2]} f(x)=f(a)=a^6.$$

Ответ

Если $$-2 \le a \le 0,$$ то $$\min f(x)=0,$$ $$\max f(x)=64.$$
Если $$0<a<2,$$ то $$\min f(x)=a^6,$$ $$\max f(x)=64.$$
Если $$a<-2,$$ то $$\min f(x)=0,$$ $$\max f(x)=a^6.$$