Упр.9.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 9.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^8 на промежутке [-1; a], где a > -1.
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^8$$ на промежутке $$[-1;a]$$, где $$a>-1$$.
Так как степень чётная, то $$f(x)\ge 0$$ при всех $$x$$, а на промежутке $$[-1;a]$$ важны точки $$x=-1$$, $$x=0$$ и правый конец $$x=a$$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$$f(-1)=(-1)^8=1,$$
$$f(0)=0^8=0,$$
$$f(a)=a^8.$$
Теперь рассмотрим возможные случаи.
Если $$-1<a\le 0$$, то на отрезке $$[-1;a]$$ точка $$0$$ не входит в промежуток, а функция убывает при $$x<0$$. Поэтому
$$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(a)=a^8,\qquad \max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(-1)=1.$$
Если $$0<a\le 1$$, то точка $$0$$ принадлежит промежутку, и там функция принимает наименьшее значение:
$$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(0)=0,\qquad \max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(-1)=1.$$
Если $$a>1$$, то наибольшее значение достигается в правом конце промежутка:
$$\min\limits_{[-1;a]} f(x)=f(0)=0,\qquad \max\limits_{[-1;a]} f(x)=f(a)=a^8.$$
Ответ
Если $$-1<a\le 0$$, то $$\min f(x)=a^8$$, $$\max f(x)=1$$.
Если $$0<a\le 1$$, то $$\min f(x)=0$$, $$\max f(x)=1$$.
Если $$a>1$$, то $$\min f(x)=0$$, $$\max f(x)=a^8$$.
