Упр.9.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 4x^3+x^7=-5; 2) x^6+3x^8=4.

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение $$4x^3+x^7=-5.$$

Функции $$f(x)=4x^3$$ и $$g(x)=x^7$$ возрастают на всей числовой прямой, значит и сумма $$4x^3+x^7$$ тоже возрастает на $$\mathbb{R}$$. Следовательно, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=-1$$:

$$4(-1)^3+(-1)^7=-4-1=-5.$$

Значит, $$x=-1$$ — решение уравнения, и оно единственное.

2) Рассмотрим уравнение $$x^6+3x^8=4.$$

Обе функции $$x^6$$ и $$3x^8$$ чётные, поэтому достаточно рассмотреть $$x \ge 0$$. При $$x \ge 0$$ обе функции возрастают, значит и сумма $$x^6+3x^8$$ возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного положительного решения, а из чётности — если $$x$$ является решением, то и $$-x$$ тоже решение.

Проверим $$x=1$$:

$$1^6+3\cdot 1^8=1+3=4.$$

Тогда $$x=1$$ — решение, и по чётности также $$x=-1$$.