Упр.9.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^11+x^3=2; 2) 2x^4+x^10=3.

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение $$x^{11}+x^3=2.$$

Функции $$x^{11}$$ и $$x^3$$ возрастают на всей числовой прямой, значит и сумма $$x^{11}+x^3$$ тоже возрастает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=1$$:

$$1^{11}+1^3=1+1=2.$$

Значит, $$x=1$$ — решение уравнения, и оно единственное.

2) Рассмотрим уравнение $$2x^4+x^{10}=3.$$

Обе функции $$2x^4$$ и $$x^{10}$$ чётные, поэтому и левая часть уравнения — чётная функция. Достаточно найти положительные корни и затем учесть симметрию относительно нуля.

При $$x \ge 0$$ функции $$2x^4$$ и $$x^{10}$$ возрастают, значит сумма $$2x^4+x^{10}$$ также возрастает. Следовательно, на $$x \ge 0$$ уравнение имеет не более одного решения.

Проверим $$x=1$$:

$$2\cdot 1^4+1^{10}=2+1=3.$$

Значит, $$x=1$$ — решение. Так как уравнение чётное, то $$x=-1$$ тоже является решением.