Упр.89 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^4(x/3)+cos^4(x/3) > 1/2;
2) cos(?x)+sin(?x+?/4) > 0.

1) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3} =\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3} $$

Так как $$\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}=1,$$ получаем

$$ 1-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}>\frac12. $$

Используем формулу $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$ 1-\frac12\sin^2\frac{2x}{3}>\frac12, $$

откуда

$$ \sin^2\frac{2x}{3}<1. $$

Это неравенство неверно только при $$\sin\frac{2x}{3}=\pm1,$$ то есть

$$ \frac{2x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Следовательно,

$$ x\ne \frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Преобразуем выражение:

$$ \cos \pi x+\sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)>0. $$

Так как $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right),$$ то

$$ \cos \pi x+\cos\left(\frac{\pi}{4}-\pi x\right)>0. $$

Применим формулу суммы косинусов:

$$ 2\cos\frac{\pi}{8}\cdot \cos\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)>0. $$

Поскольку $$\cos\frac{\pi}{8}>0,$$ получаем

$$ \cos\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)>0. $$

Тогда

$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<\pi x-\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Прибавим $$\frac{\pi}{8}$$:

$$ -\frac{3\pi}{8}+2\pi n<\pi x<\frac{5\pi}{8}+2\pi n. $$

Делим на $$\pi$$:

$$ -\frac{3}{8}+2n

Ответ

1) $$x\ne \frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{3}{8}+2n<x<\frac{5}{8}+2n,\ n\in\mathbb Z.$$