Упр.89 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin^4\left(\frac{x}{3}\right)+\cos^4\left(\frac{x}{3}\right)>\frac{1}{2}$$;
2. $$\cos(?x)+\sin\left(?x+\frac{?}{4}\right)>0$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3} =\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3} =1-\frac12\sin^2\frac{2x}{3}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$1-\frac12\sin^2\frac{2x}{3}>\frac12,$$

откуда

$$\sin^2\frac{2x}{3}<1.$$

Это неравенство не выполняется только при

$$\sin\frac{2x}{3}=\pm1.$$

Следовательно,

$$\frac{2x}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x\ne \frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos \pi x+\sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)>0.$$

Так как

$$\sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\pi x\right),$$

получаем

$$\cos \pi x+\cos\left(\frac{\pi}{4}-\pi x\right)>0.$$

Тогда

$$2\cos\frac{\pi}{8}\cdot \cos\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)>0.$$

Поскольку $$\cos\frac{\pi}{8}>0,$$ имеем

$$\cos\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)>0.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\pi x-\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{8}$$:

$$-\frac{3\pi}{8}+2\pi n<\pi x<\frac{5\pi}{8}+2\pi n.$$

Делим на $$\pi$$:

$$-\frac{3}{8}+2n<x<\frac{5}{8}+2n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x\ne \frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{3}{8}+2n<x<\frac{5}{8}+2n,\ n\in\mathbb Z.$$