Упр.88 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) -1/2 < cos(x)?1/4; 3) 1/3?sin(x) < 1/2; 5) |tg(x)| < v3; 2) -2 < tg(x) < 3; 4) -4 < ctg(x) < 1,5; 6) |cos(2x)|?1/2.

1. $$-\frac12<\cos x\le \frac14$$

   Для неравенства $$\cos x\le \frac14$$ получаем

   $$\arccos \frac14+2\pi n\le x\le 2\pi-\arccos \frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   С учётом условия $$\cos x>-\frac12$$ остаётся

   $$\arccos \frac14+2\pi n\le x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x\le 2\pi-\arccos \frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$-2<\tg x<3$$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, то

   $$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\frac13\le \sin x<\frac12$$

   Для $$\sin x\ge \frac13$$ имеем

   $$\arcsin \frac13+2\pi n\le x\le \pi-\arcsin \frac13+2\pi n.$$

   С учётом условия $$\sin x<\frac12$$ получаем

   $$\arcsin \frac13+2\pi n\le x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$
   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x\le \pi-\arcsin \frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$-4<\ctg x<1{,}5$$

   Функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$, поэтому

   $$\operatorname{arcctg}\frac32+\pi n<x<\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$|\tg x|<\sqrt3$$

   Это равносильно неравенству

   $$-\sqrt3<\tg x<\sqrt3.$$

   Так как $$\tg x$$ возрастает, то

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$|\cos 2x|\ge \frac12$$

   Имеем два случая:

   $$\cos 2x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad \cos 2x\ge \frac12.$$

   Тогда

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на 2:

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n,$$
   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\arccos \frac14+2\pi n\le x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ и $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x\le 2\pi-\arccos \frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

2) $$-\arctg 2+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

3) $$\arcsin \frac13+2\pi n\le x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x\le \pi-\arcsin \frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

4) $$\operatorname{arcctg}\frac32+\pi n<x<\pi-\operatorname{arcctg}4+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

5) $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

6) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+\pi n$$ и $$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x\le \frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$