Упр.87 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\sin\left(\frac{x}{3}\right)<\frac{1}{2}$$;
   3) $$\operatorname{tg}(2x)<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
   2) $$\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt{3}$$;
   4) $$\cos(4x)<\frac{1}{4}$$.

1) $$\sin\frac{x}{3}<\frac12.$$

Для синуса имеем:

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Умножим все части неравенства на $$3$$:

$$-\frac{7\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt3.$$

Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t,$$ то

$$-\ctg\frac{x}{2}>\sqrt3,$$

откуда

$$\ctg\frac{x}{2}<-\sqrt3.$$

Для котангенса получаем:

$$-\frac{\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Умножим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\tg 2x<-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Так как $$-\frac{\sqrt3}{3}=-\tg\frac{\pi}{6},$$ то

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos 4x<\frac14.$$

Для косинуса:

$$\arccos\frac14+2\pi n<4x<2\pi-\arccos\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$4$$:

$$\frac14\arccos\frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos\frac14+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{7\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$\frac14\arccos\frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos\frac14+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$