Упр.87 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x/3) < 1/2; 3) tg(2x) < -v3/3; 2) ctg(-x/2) > v3; 4) cos(4x) < 1/4.

1. $$\sin \frac{x}{3}<\frac12$$

   Для синуса имеем:

   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<\frac{x}{3}<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Умножим на $3$:

   $$-\frac{7\pi}{2}+6\pi n

2. $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)>\sqrt3$$

   Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t,$$ то

   $$-\ctg \frac{x}{2}>\sqrt3,$$
   $$\ctg \frac{x}{2}<-\sqrt3.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Умножим на $2$:

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n

3. $$\tg 2x<-\frac{\sqrt3}{3}$$

   Получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $2$:

   $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}

4. $$\cos 4x<\frac14$$

   Для косинуса:

   $$\arccos \frac14+2\pi n<4x<2\pi-\arccos \frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $4$:

   $$\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}

Ответ

1) $$-\frac{7\pi}{2}+6\pi n<x<\frac{\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
3) $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;$$
4) $$\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{2}-\frac14\arccos \frac14+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$