Упр.86 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x) > v3/2; 3) ctg(5x) > 1;
2) tg(-x/4) < v3; 4) cos(-3x) > 1/3.

1. $$\sin 2x>\frac{\sqrt3}{2}$$

   Значение синуса больше $$\frac{\sqrt3}{2}$$ на промежутке

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим все части неравенства на $$2$$:

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg\left(-\frac{x}{4}\right)<\sqrt3$$

   Так как $$\tg(-t)=-\tg t$$, получаем

   $$-\tg\frac{x}{4}<\sqrt3,\qquad \tg\frac{x}{4}>-\sqrt3.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<\frac{x}{4}<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Умножаем на $$4$$:

   $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg 5x>1$$

   Функция $$\ctg t$$ убывает на каждом промежутке $$\pi n<t<\pi(n+1)$$, поэтому

   $$\pi n<5x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$5$$:

   $$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos(-3x)>\frac13$$

   Так как $$\cos(-t)=\cos t$$, имеем

   $$\cos 3x>\frac13.$$

   Следовательно,

   $$-\arccos\frac13+2\pi n<3x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$3$$:

   $$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
3) $$\frac{\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z;$$
4) $$-\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac13\arccos\frac13+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$