Упр.85 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 85. Решите уравнение sin(x)+sin(2x)+sin(3x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x).

Используем формулы суммы тригонометрических функций:

$$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x, $$
$$ \cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x. $$

Тогда уравнение принимает вид

$$ 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=2\cos 2x\cos x+\cos 2x. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \sin 2x(2\cos x+1)=\cos 2x(2\cos x+1). $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ (2\cos x+1)(\sin 2x-\cos 2x)=0. $$

Отсюда получаем два случая.

1. $$2\cos x+1=0,$$
   значит
   $$ \cos x=-\frac12. $$
   Тогда
   $$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\sin 2x-\cos 2x=0,$$
   то есть
   $$ \tan 2x=1. $$
   Следовательно,
   $$ 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n, $$
   откуда
   $$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$