Упр.85 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)=\cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)$$.

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$$

Используем формулы суммы:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x,$$

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=2\cos 2x\cos x+\cos 2x,$$

$$\sin 2x\,(2\cos x+1)=\cos 2x\,(2\cos x+1),$$

$$\bigl(2\cos x+1\bigr)\bigl(\sin 2x-\cos 2x\bigr)=0.$$

Отсюда получаем два уравнения:

1. $$2\cos x+1=0,$$

   $$\cos x=-\frac12,$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 2x-\cos 2x=0,$$

   $$\tan 2x=1,$$

   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$