Упр.84 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 84. Решите уравнение cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+cos^2(4x)=1 3/4.

Используем формулу

$$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}.$$

Тогда

$$ \cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 4x=\frac{7}{4} $$
$$ \frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac{7}{4} $$
$$ 4+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=\frac{7}{2} $$
$$ \cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=-\frac12. $$

Сгруппируем с помощью формулы суммы косинусов:

$$ \cos 2x+\cos 8x=2\cos 5x\cos 3x, $$
$$ \cos 4x+\cos 6x=2\cos 5x\cos x. $$

Тогда

$$ 2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=-\frac12. $$

Снова применим формулу суммы косинусов:

$$ \cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x. $$

Получаем

$$ 4\cos 5x\cos 2x\cos x=-\frac12, $$
$$ \cos 5x\cos 2x\cos x=-\frac18. $$

Используем формулу

$$ 2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b). $$

Тогда

$$ \cos x\cos 2x\cos 5x=\frac{\sin x\cos 2x\cos 5x}{\sin x} =\frac{\sin 2x\cos 5x}{2\sin x} =\frac{\sin 7x-\sin 3x}{4\sin x}. $$

Но удобнее сразу воспользоваться тождеством

$$ 4\cos x\cos 2x\cos 5x=\sin 9x-\sin x. $$

Тогда из равенства $$\cos x\cos 2x\cos 5x=-\frac18$$ получаем

$$ \sin 9x-\sin x=-\sin x, $$
$$ \sin 9x=0. $$

Следовательно,

$$ 9x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{9},\quad n\in\mathbb Z. $$

Проверим область допустимых значений: в ходе преобразований деление на $$\sin x$$ допустимо только при $$\sin x\ne 0$$. Поэтому

$$ \sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

Для найденных значений это означает, что

$$ \frac{\pi n}{9}\ne \pi k \quad \Rightarrow \quad n\ne 9k. $$

Ответ

$$ x=\frac{\pi n}{9},\quad n\in\mathbb Z,\quad n\ne 9k,\ k\in\mathbb Z. $$