Упр.83 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 83. Решите уравнение (1-cos(x)-sin(x))/cos(x)=0.

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:

$$1-\cos x-\sin x=0,$$

$$\cos x\ne 0.$$

Получаем:

$$\sin x+\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=1,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Проверим условие $$\cos x\ne 0.$$

При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем $$\cos x=0,$$ поэтому эти значения не подходят.

Остаётся:

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$