Упр.83 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\frac{1-\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)}=0$$.

ОДЗ: $$\cos x \ne 0.$$

Так как дробь равна нулю, то её числитель должен быть равен нулю:

$$1-\cos x-\sin x=0,$$

то есть

$$\sin x+\cos x=1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Получаем:

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Проверим ОДЗ: при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем $$\cos x=0,$$ поэтому эти значения не подходят.

Остаётся

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$