Упр.82 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)}=0$$; 2) $$\frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}=0$$.

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\frac{\cos 2x}{1+\sin 2x}=0 \iff \cos 2x=0,\quad 1+\sin 2x\ne 0.$$

Из условия $$\cos 2x=0$$ получаем

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель: при этих значениях $$\sin 2x=\pm 1,$$ и равенство $$\sin 2x=-1$$ не выполняется одновременно с $$\cos 2x=0$$ для найденных решений, значит все они подходят.

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Аналогично:

$$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0 \iff \sin 2x=0,\quad 1+\cos 2x\ne 0.$$

Из условия $$\sin 2x=0$$ получаем

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка знаменателя: при $$2x=\pi n$$ имеем $$\cos 2x=(-1)^n,$$ и значение $$\cos 2x=-1$$ соответствует только нечётным $$n$$, но тогда знаменатель обращается в нуль. Поэтому остаются только чётные $$n$$, что эквивалентно записи $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$