Упр.82 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2x)/(1+sin(2x))=0;
2) sin(2x)/(1+cos(2x))=0.

1. $$\frac{\cos 2x}{1+\sin 2x}=0$$

   Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\cos 2x=0,\qquad 1+\sin 2x\ne 0$$

   Из $$\cos 2x=0$$ получаем:

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

   Проверка условия $$1+\sin 2x\ne 0$$ исключает значения, при которых $$\sin 2x=-1$$, но при найденных значениях $$\cos 2x=0$$ это условие не нарушается.

2. $$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=0$$

   Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\sin 2x=0,\qquad 1+\cos 2x\ne 0$$

   Из $$\sin 2x=0$$ получаем:

   $$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi n}{2}$$

   Условие $$1+\cos 2x\ne 0$$ исключает случаи, когда $$\cos 2x=-1$$, то есть $$2x=\pi+2\pi k$$. Но при $$2x=\pi n$$ это соответствует только нечётным $$n$$, поэтому остаются значения
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.