Упр.81 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\frac{\cos(2x)}{1-\sin(2x)}=0$$; 2) $$\frac{\sin(2x)\cos(3x)-\cos(2x)\sin(3x)}{1+\cos(x)}=0$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\cos 2x=0,\qquad 1-\sin 2x\ne 0.$$

Из уравнения $$\cos 2x=0$$ получаем

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Проверим условие $$1-\sin 2x\ne 0.$$ При $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ имеем $$\sin 2x=\pm 1,$$ значит, значение $$\sin 2x=1$$ недопустимо. Оно получается при $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ то есть при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k.$$ Эти значения нужно исключить.

Остаются решения

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 2x\cos 3x-\cos 2x\sin 3x}{1+\cos x}=0.$$

Преобразуем числитель по формуле синуса разности:

$$\sin 2x\cos 3x-\cos 2x\sin 3x=\sin(2x-3x)=\sin(-x)=-\sin x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{-\sin x}{1+\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда

$$\sin x=0,\qquad 1+\cos x\ne 0.$$

Из условия $$\sin x=0$$ получаем

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$1+\cos(\pi n)\ne 0.$$

При нечётных $$n$$ имеем $$\cos(\pi n)=-1,$$ поэтому знаменатель обращается в нуль. Значит, подходят только чётные $$n$$:

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ 2) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$