Упр.81 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2x)/(1-sin(2x))=0;
2) (sin(2x)cos(3x)-cos(2x)sin(3x))/(1+cos(x))=0.

1. $$\frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\cos 2x=0,\qquad 1-\sin 2x\ne 0.$$

   Из уравнения $$\cos 2x=0$$ получаем:

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   Проверим условие знаменателя:

   $$\sin 2x\ne 1.$$

   При $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ значение $$\sin 2x=1$$ получается при чётных $$n$$, поэтому остаются только нечётные значения $$n$$. Удобно записать ответ так:

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\frac{\sin 2x\cos 3x-\cos 2x\sin 3x}{1+\cos x}=0$$

   Преобразуем числитель по формуле синуса разности:

   $$\sin 2x\cos 3x-\cos 2x\sin 3x=\sin(2x-3x)=\sin(-x)=-\sin x.$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\frac{-\sin x}{1+\cos x}=0.$$

   Дробь равна нулю, когда

   $$\sin x=0,\qquad 1+\cos x\ne 0.$$

   Из $$\sin x=0$$ получаем:

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим знаменатель:

   $$1+\cos(\pi n)\ne 0.$$

   При нечётных $$n$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому подходят только чётные $$n$$:

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$