Упр.80 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(x)-cos(x))/(4x-?)=0;
2) (cos(2x)-2cos(x)+1)/(12x^2-8?x+?^2)=0;
3) (3sin^2(2?x)+7cos(2?x)-3)/(4x^2-7x+3)=0.

1. $$\frac{\sin x-\cos x}{4x-\pi}=0$$
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$\sin x-\cos x=0,$$
   $$\tan x=1,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Проверим область определения:
   $$4x-\pi\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{4}.$$
   Значит, $x=\frac{\pi}{4}$ не подходит, то есть $n\ne 0$.

2. $$\frac{\cos 2x-2\cos x+1}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0$$
   Числитель:
   $$\cos 2x-2\cos x+1=0.$$
   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$ 2\cos^2 x-1-2\cos x+1=0 $$
   $$ 2\cos^2 x-2\cos x=0 $$
   $$ 2\cos x(\cos x-1)=0. $$
   Тогда
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Проверим знаменатель:
   $$12x^2-8\pi x+\pi^2\ne 0.$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$ D=(8\pi)^2-4\cdot 12\cdot \pi^2=64\pi^2-48\pi^2=16\pi^2, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{8\pi\pm 4\pi}{24}. $$
   Получаем
   $$x_1=\frac{\pi}{6},\quad x_2=\frac{\pi}{2}.$$
   Значит, из найденных решений нужно исключить $x=\frac{\pi}{2}$, то есть в случае $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ нельзя брать $n=0$.

3. $$\frac{3\sin^2 2\pi x+7\cos 2\pi x-3}{4x^2-7x+3}=0$$
   Числитель равен нулю:
   $$ 3\sin^2 2\pi x+7\cos 2\pi x-3=0. $$
   Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ получаем:
   $$ 3(1-\cos^2 2\pi x)+7\cos 2\pi x-3=0 $$
   $$ -3\cos^2 2\pi x+7\cos 2\pi x=0 $$
   $$ \cos 2\pi x\,(7-3\cos 2\pi x)=0. $$
   Отсюда
   $$\cos 2\pi x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2\pi x=\frac{7}{3}.$$
   Второе невозможно, значит
   $$\cos 2\pi x=0,$$
   $$2\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac14+\frac n2,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Проверим знаменатель:
   $$4x^2-7x+3\ne 0.$$
   $$ D=49-48=1, $$
   $$ x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8}. $$
   Тогда
   $$x_1=\frac34,\quad x_2=1.$$
   Из найденных решений нужно исключить $x=1$, то есть $$n\ne 1$$.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0;$$
2) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 0;$$
3) $$x=\frac14+\frac n2,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 1.$$