Упр.80 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{\sin(x)-\cos(x)}{4x-?}=0$$;
2. $$\frac{\cos(2x)-2\cos(x)+1}{12x^2-8?x+?^2}=0$$;
3. $$\frac{3\sin^2(2?x)+7\cos(2?x)-3}{4x^2-7x+3}=0$$.

1) $$\frac{\sin x-\cos x}{4x-\pi}=0$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\sin x-\cos x=0$$

$$\tg x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область определения:

$$4x-\pi\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \frac{\pi}{4}.$$

Значит, при $$n=0$$ получаем недопустимое значение, поэтому

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

2) $$\frac{\cos 2x-2\cos x+1}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0$$

Решаем уравнение числителя:

$$\cos 2x-2\cos x+1=0.$$

Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ то

$$2\cos^2 x-1-2\cos x+1=0,$$

$$2\cos^2 x-2\cos x=0,$$

$$2\cos x(\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$12x^2-8\pi x+\pi^2\ne 0.$$

Найдём его корни:

$$D=(8\pi)^2-4\cdot 12\cdot \pi^2=64\pi^2-48\pi^2=16\pi^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pi\pm 4\pi}{24}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{\pi}{2}.$$

Из найденных корней только $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ может дать недопустимое значение при $$n=0$$, то есть $$x=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

3) $$\frac{3\sin^2 2\pi x+7\cos 2\pi x-3}{4x^2-7x+3}=0$$

Решаем числитель:

$$3\sin^2 2\pi x+7\cos 2\pi x-3=0.$$

Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ то

$$3(1-\cos^2 2\pi x)+7\cos 2\pi x-3=0,$$

$$-3\cos^2 2\pi x+7\cos 2\pi x=0,$$

$$\cos 2\pi x\,(7-3\cos 2\pi x)=0.$$

Отсюда

$$\cos 2\pi x=0.$$

Тогда

$$2\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac14+\frac n2,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$4x^2-7x+3\ne 0.$$

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8}.$$

Получаем

$$x_1=\frac34,\qquad x_2=1.$$

Из найденных значений только $$x=1$$ входит в общий вид $$x=\frac14+\frac n2$$ при $$n= \frac32$$ нецелом, значит недопустимых значений среди решений нет. Поэтому

$$x=\frac14+\frac n2,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 1.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

2) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

3) $$x=\frac14+\frac n2,\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 1.$$