Упр.8.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-4)^2 (x^2-7x+10) < 0; 3) (x-4)^2 (x^2-7x+10) > 0;
2) (x-4)^2 (x^2-7x+10)?0; 4) (x-4)^2 (x^2-7x+10)?0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$

Тогда данное выражение имеет вид

$$ (x-4)^2(x-2)(x-5). $$

Так как $$ (x-4)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$ и обращается в ноль только при $$x=4$$, знак произведения определяется множителем $$ (x-2)(x-5) $$, а точку $$x=4$$ нужно учитывать отдельно.

1. $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)<0 $$

   Тогда должно быть

   $$ (x-2)(x-5)<0, \quad x\ne 4. $$

   Отсюда

   $$ 2<x<5, \quad x\ne 4. $$

   Значит,

   $$ x\in(2;4)\cup(4;5). $$

2. $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)\le 0 $$

   Тогда

   $$ (x-2)(x-5)\le 0, \quad \text{или } x=4. $$

   Но при $$x=4$$ произведение равно нулю, а промежуток $$[2;5]$$ уже содержит эту точку.

   Следовательно,

   $$ x\in[2;5]. $$

3. $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)>0 $$

   Нужно, чтобы

   $$ (x-2)(x-5)>0, \quad x\ne 4. $$

   Отсюда

   $$ x<2 \quad \text{или} \quad x>5. $$

   Точка $$x=4$$ сюда не попадает.

   Значит,

   $$ x\in(-\infty;2)\cup(5;+\infty). $$

4. $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)\ge 0 $$

   Тогда

   $$ (x-2)(x-5)\ge 0 \quad \text{или} \quad x=4. $$

   Получаем

   $$ x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 5, $$

   а также отдельно $$x=4$$.

   Следовательно,

   $$ x\in(-\infty;2]\cup\{4\}\cup[5;+\infty). $$

Ответ

1) $$ (2;4)\cup(4;5) $$; 2) $$ [2;5] $$; 3) $$ (-\infty;2)\cup(5;+\infty) $$; 4) $$ (-\infty;2]\cup\{4\}\cup[5;+\infty) $$.