Упр.8.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^4+1)(5-6x)(x-2) < 0; 2) (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1) < 0.

1) $$\left(x^4+1\right)(5-6x)(x-2)<0$$

Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется только множителями $$5-6x$$ и $$x-2$$:

$$ (5-6x)(x-2)<0 $$

Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

$$ (6x-5)(x-2)>0 $$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<\frac{5}{6} \quad \text{или} \quad x>2.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\infty;\frac{5}{6}\right)\cup(2;+\infty).$$

2) $$\left(3x^2-5x-2\right)\left(2x^2+x+1\right)<0$$

Разложим первый множитель на множители:

$$3x^2-5x-2=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2\cdot 3}.$$

Отсюда

$$x_1=-\frac13,\qquad x_2=2,$$

значит

$$3x^2-5x-2=\left(x+\frac13\right)(x-2).$$

Для второго множителя:

$$2x^2+x+1=0$$

$$D=1-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$2x^2+x+1>0$$

при любом $$x$$.

Тогда неравенство равносильно:

$$\left(x+\frac13\right)(x-2)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$-\frac13<x<2.$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;\frac56\right)\cup(2;+\infty)$$

2) $$\left(-\frac13;2\right)$$