Упр.8.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(x^4+1)(5-6x)(x-2)<0$$;
   2) $$(3x^2-5x-2)(2x^2+x+1)<0$$.

1. $$\left(x^4+1\right)(5-6x)(x-2)<0$$

   Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется только множителями $$5-6x$$ и $$x-2$$:

   $$\left(5-6x\right)(x-2)<0.$$

   Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:

   $$\left(6x-5\right)(x-2)>0.$$

   Нули множителей: $$x=\frac{5}{6}$$ и $$x=2$$. Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$x<\frac{5}{6} \quad \text{или} \quad x>2.$$

2. $$\left(3x^2-5x-2\right)\left(2x^2+x+1\right)<0$$

   Разложим первый множитель на множители:

   $$3x^2-5x-2=3x^2-6x+x-2=(3x+1)(x-2).$$

   Для второго множителя найдём дискриминант:

   $$D=1-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$2x^2+x+1>0$$

   при всех $$x$$.

   Тогда исходное неравенство равносильно:

   $$\left(3x+1\right)(x-2)<0.$$

   Нули множителей: $$x=-\frac{1}{3}$$ и $$x=2$$. Произведение отрицательно между корнями:

   $$-\frac{1}{3}<x<2.$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;\frac{5}{6}\right)\cup(2;+\infty)$$

2) $$\left(-\frac{1}{3};2\right)$$