Упр.8.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0; 2) (2-x)(3x+5)(x^2-x+1) > 0.

1) Рассмотрим неравенство

$$ (2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0. $$

Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется только множителями $$2x+1$$ и $$x-3$$. Получаем:

$$ (2x+1)(x-3) < 0. $$

Нули множителей: $$x=-\frac12$$ и $$x=3$$. Произведение отрицательно между корнями, значит

$$ -\frac12 < x < 3. $$

2) Рассмотрим неравенство

$$ (2-x)(3x+5)(x^2-x+1) > 0. $$

Проверим квадратный трёхчлен:

$$ D = (-1)^2 — 4\cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 < 0. $$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-x+1>0$$ при любом $$x$$. Тогда неравенство равносильно:

$$ (2-x)(3x+5) > 0. $$

Перепишем:

$$ -(x-2)(3x+5) > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2)(3x+5) < 0. $$

Нули множителей: $$x=2$$ и $$x=-\frac53$$. Произведение отрицательно между корнями, значит

$$ -\frac53 < x < 2. $$

Ответ

1) $$\left(-\frac12; 3\right)$$

2) $$\left(-\frac53; 2\right)$$