Упр.8.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2+7x)(x^2-7x+7) < 0; 2) (x^2-x-12)/(x^2-36)?0; 3) (3x^2+2x-1)/(4x^2-x-3)?0.

1. $$\left(x^2+7x\right)\left(x^2-7x+6\right)<0$$

   Разложим на множители:

   $$x(x+7)(x-1)(x-6)<0$$

   Нули выражения: $$x=-7,\;0,\;1,\;6.$$

   Исследуем знаки на промежутках:

   $$(-\infty;-7),\;(-7;0),\;(0;1),\;(1;6),\;(6;+\infty).$$

   Произведение отрицательно на промежутках $$(-7;0)$$ и $$ (1;6).$$

2. $$\frac{x^2-x-12}{x^2-36}\le 0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(x+3)(x-4)}{(x+6)(x-6)}\le 0$$

   Область определения: $$x\ne -6,\;x\ne 6.$$

   Критические точки: $$-6,\,-3,\,4,\,6.$$

   По знакам дроби получаем:

   $$(-6;-3]\cup[4;6).$$

3. $$\frac{3x^2+2x-1}{4x^2-x-3}\ge 0$$

   Разложим числитель и знаменатель на множители:

   $$\frac{(3x-1)(x+1)}{(4x-3)(x+1)}\ge 0$$

   Область определения: $$x\ne -1,\;x\ne \frac34.$$

   После сокращения при $$x\ne -1$$ получаем:

   $$\frac{3x-1}{4x-3}\ge 0.$$

   Критические точки: $$\frac13,\;\frac34.$$

   Исследование знаков даёт:

   $$(-\infty;\tfrac13]\cup(\tfrac34;+\infty).$$

   С учётом исключения $$x=-1$$ окончательно:

   $$(-\infty;-1)\cup(-1;\tfrac13]\cup(\tfrac34;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-7;0)\cup(1;6)$$

2) $$(-6;-3]\cup[4;6)$$

3) $$(-\infty;-1)\cup(-1;\tfrac13]\cup(\tfrac34;+\infty)$$