Упр.8.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2-4)/(x^2-9) > 0;
2) (x^2-3x)/(x^2-8x+7)?0;
3) (2x^2-5x+2)/(x^2-3x-4)?0.

1) $$\frac{x^2-4}{x^2-9}>0$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}>0$$

Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,2,\,3.$$

Исследуем знаки на промежутках. Положительными будут значения при

$$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;2)\cup(3;+\infty).$$

2) $$\frac{x^2-3x}{x^2-8x+7}\le 0$$

Разложим на множители:

$$\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-7)}\le 0$$

Критические точки: $$x=0,\;1,\;3,\;7.$$

С учётом знаков дроби и того, что точки $$x=1$$ и $$x=7$$ не входят в область определения, получаем:

$$x\in[0;1)\cup[3;7).$$

3) $$\frac{2x^2-5x+2}{x^2-3x-4}\ge 0$$

Разложим на множители:

$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2),$$

$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-4)(x+1)}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-1,\; \frac12,\; 2,\; 4.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-\infty;-1)\cup\left[\frac12;2\right]\cup[4;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(-2;2)\cup(3;+\infty)$$

2) $$[0;1)\cup[3;7)$$

3) $$(-\infty;-1)\cup\left[\frac12;2\right]\cup[4;+\infty)$$