Упр.8.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x+3)/(x-1) > 0; 3) (x-2)(x+1)/(x-4) < 0; 5) (3x-2)(4-x)/((x+3)(x-1)) > 0;
2) (x-4)/x?0; 4) (x+1,2)(x-1,6)/(x-1,4)?0; 6) (x+1)(3-x)/((3x-2)(4-3x))?0.

1. $$\frac{x+3}{x-1}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$x+3>0,\ x-1>0 \Rightarrow x>1$$

   или

   $$x+3<0,\ x-1<0 \Rightarrow x<-3$$

   Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

2. $$\frac{x-4}{x}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4$$.

   Проверяем знаки на промежутках:

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x\ge 4$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup[4;+\infty)$$

3. $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$

   Нули числителя: $$x=-1,\ x=2$$, знаменатель обращается в нуль при $$x=4$$.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad 2<x<4$$

   Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(2;4)$$

4. $$\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1,2,\ 1,4,\ 1,6$$.

   По знакам на промежутках:

   $$x\le -1,2 \quad \text{или} \quad 1,4<x\le 1,6$$

   Ответ: $$(-\infty;-1,2]\cup(1,4;1,6]$$

5. $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$

   Преобразуем:

   $$\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0$$

   Критические точки: $$x=-3,\ 1,\ \frac23,\ 4$$.

   По знакам на промежутках:

   $$-3<x<\frac23 \quad \text{или} \quad 1<x<4$$

   Ответ: $$(-3;\frac23)\cup(1;4)$$

6. $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}\ge 0$$

   Преобразуем:

   $$\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1,\ \frac23,\ \frac43,\ 3$$.

   По знакам на промежутках:

   $$-1\le x<\frac23 \quad \text{или} \quad \frac43<x\le 3$$

   Ответ: $$[-1;\frac23)\cup(\frac43;3]$$