Упр.8.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

• 1) $$\frac{x+3}{x-1}>0$$;
• 3) $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$;
• 5) $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$;
• 2) $$\frac{x-4}{x}\ ?\ 0$$;
• 4) $$\frac{(x+1{,}2)(x-1{,}6)}{x-1{,}4}\ ?\ 0$$;
• 6) $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}\ ?\ 0$$.

1) $$\frac{x+3}{x-1}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x+3>0,\ x-1>0 \Rightarrow x>1$$

или

$$x+3<0,\ x-1<0 \Rightarrow x<-3$$

Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

2) $$\frac{x-4}{x}\ge 0$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4$$. Знак дроби неотрицателен на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$[4;+\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty;0)\cup[4;+\infty)$$

3) $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$

Критические точки: $$x=-1,\ 2,\ 4$$.

Проверка знаков показывает, что неравенство выполняется при

$$x<-1,\quad 2<x<4.$$

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(2;4)$$

4) $$\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4}\le 0$$

Критические точки: $$x=-1,2,\ 1,4,\ 1,6$$.

Знак дроби не положителен на промежутках

$$(-\infty;-1,2]\cup(1,4;1,6].$$

Ответ: $$(-\infty;-1,2]\cup(1,4;1,6]$$

5) $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$

Преобразуем:

$$\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0$$

Критические точки: $$x=-3,\ 1,\ \frac23,\ 4$$.

Неравенство выполняется при

$$-3<x<\frac23,\quad 1<x<4.$$

Ответ: $$(-3;\frac23)\cup(1;4)$$

6) $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}\ge 0$$

Преобразуем:

$$\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)}\le 0$$

Критические точки: $$x=-1,\ \frac23,\ \frac43,\ 3$$.

Решение неравенства:

$$[-1;\frac23)\cup[\frac43;3].$$

Ответ: $$[-1;\frac23)\cup[\frac43;3]$$