Упр.8.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства:
   
   1) $$\frac{x-8}{x+7}<0$$;
   3) $$\frac{x+5{,}2}{x-1{,}4}\ ?0$$;
   
   5) $$\frac{(x+15)(x-2)}{x-15}\ ?0$$;
   
   2) $$\frac{x+9}{x-11}>0$$;
   
   4) $$\frac{5-x}{x-6}\ ?0$$;
   
   6) $$\frac{x-3{,}8}{(x+5)(x-16)}\ ?0$$.

1) $$\frac{x-8}{x+7}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Критические точки: $$x=-7$$ и $$x=8$$.

Знак «минус» получается на промежутке $$(-7; 8)$$.

Ответ: $$(-7; 8)$$.

2) $$\frac{x+9}{x-11}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Критические точки: $$x=-9$$ и $$x=11$$.

Получаем:

$$(-\infty; -9)\cup(11; +\infty)$$

Ответ: $$(-\infty; -9)\cup(11; +\infty)$$.

3) $$\frac{x+5{,}2}{x-1{,}4}\le 0$$

Критические точки: $$x=-5{,}2$$ и $$x=1{,}4$$. Дробь не положительна на промежутке, где числитель и знаменатель разных знаков, а также в точке, где числитель равен нулю.

Имеем:

$$[-5{,}2; 1{,}4)$$

Ответ: $$[-5{,}2; 1{,}4)$$.

4) $$\frac{5-x}{x-6}\ge 0$$

Преобразуем числитель:

$$\frac{5-x}{x-6}=-\frac{x-5}{x-6}$$

Тогда

$$\frac{x-5}{x-6}\le 0$$

Критические точки: $$x=5$$ и $$x=6$$. Подходит промежуток

$$[5; 6)$$

Ответ: $$[5; 6)$$.

5) $$\frac{(x+15)(x-2)}{x-15}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-15$$, $$x=2$$, $$x=15$$. По знакам на промежутках получаем:

$$[-15; 2]\cup(15; +\infty)$$

Ответ: $$[-15; 2]\cup(15; +\infty)$$.

6) $$\frac{x-3{,}8}{(x+5)(x-16)}\le 0$$

Критические точки: $$x=-5$$, $$x=3{,}8$$, $$x=16$$. Знак дроби не положителен на промежутках

$$(-\infty; -5)\cup[3{,}8; 16)$$

Ответ: $$(-\infty; -5)\cup[3{,}8; 16)$$.