Упр.8.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-3)(x-a) < 0; 4) (x-a)(x+5)^2 < 0; 2) (x-3)(x-a)^2 > 0; 5) (x-a)(x+5)^2?0;
3) (x-3)(x-a)^2?0; 6) (x+1)(x-a)/(x-a)?0.

1. $$ (x-3)(x-a)<0 $$

   Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями. Поэтому:

   $$ \begin{cases} a=3 \Rightarrow x \in \varnothing,\\ a<3 \Rightarrow a<x<3,\\ a>3 \Rightarrow 3<x<a. \end{cases} $$

2. $$ (x-3)(x-a)^2>0 $$

   Так как $$ (x-a)^2 \ge 0 $$ и обращается в нуль только при $$ x=a $$, знак выражения определяется множителем $$ x-3 $$, но точка $$ x=a $$ исключается.

   $$ \begin{cases} a\le 3 \Rightarrow x\in(3;+\infty),\\ a>3 \Rightarrow x\in(3;a)\cup(a;+\infty). \end{cases} $$

3. $$ (x-3)(x-a)^2\ge 0 $$

   Аналогично предыдущему пункту, но теперь точка $$ x=a $$ допускается, если выражение в ней равно нулю.

   $$ \begin{cases} a\ge 3 \Rightarrow x\in[3;+\infty),\\ a<3 \Rightarrow x\in\{a\}\cup[3;+\infty). \end{cases} $$

4. $$ (x-a)(x+5)^2<0 $$

   Так как $$ (x+5)^2\ge 0 $$, то знак произведения определяется множителем $$ x-a $$, при этом $$ x=-5 $$ исключается.

   $$ \begin{cases} a\le -5 \Rightarrow x\in(-\infty;a),\\ a>-5 \Rightarrow x\in(-\infty;-5)\cup(-5;a). \end{cases} $$

5. $$ (x-a)(x+5)^2\le 0 $$

   Теперь точка $$ x=-5 $$ входит в ответ, так как в ней выражение равно нулю.

   $$ \begin{cases} a\ge -5 \Rightarrow x\in(-\infty;a],\\ a<-5 \Rightarrow x\in(-\infty;a]\cup\{-5\}. \end{cases} $$

6. $$ \dfrac{(x+1)(x-a)}{x-a}\le 0 $$

   Область определения: $$ x\ne a $$.

   При $$ x\ne a $$ дробь сокращается:

   $$ x+1\le 0, \quad x\ne a. $$

   Значит, $$ x\le -1 $$, но точка $$ x=a $$ должна быть исключена из ответа.

   $$ \begin{cases} a=-1 \Rightarrow x<-1,\\ a>-1 \Rightarrow x\in(-\infty;-1],\\ a<-1 \Rightarrow x\in(-\infty;a)\cup(a;-1]. \end{cases} $$

Ответ

1) $$ a=3 \Rightarrow \varnothing; \ a<3 \Rightarrow (a;3); \ a>3 \Rightarrow (3;a). $$
2) $$ a\le 3 \Rightarrow (3;+\infty); \ a>3 \Rightarrow (3;a)\cup(a;+\infty). $$
3) $$ a\ge 3 \Rightarrow [3;+\infty); \ a<3 \Rightarrow \{a\}\cup[3;+\infty). $$
4) $$ a\le -5 \Rightarrow (-\infty;a); \ a>-5 \Rightarrow (-\infty;-5)\cup(-5;a). $$
5) $$ a\ge -5 \Rightarrow (-\infty;a]; \ a<-5 \Rightarrow (-\infty;a]\cup\{-5\}. $$
6) $$ a=-1 \Rightarrow (-\infty;-1); \ a>-1 \Rightarrow (-\infty;-1]; \ a<-1 \Rightarrow (-\infty;a)\cup(a;-1]. $$