Упр.8.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x-3)v(14+5x-x^2) > 0; 3) (x^2-25)v(16-x^2) > 0;
2) (x-3)v(14+5x-x^2)?0; 4) (x^2-25)v(16-x^2)?0.

Подробный ответ

$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$
Найдём область определения корня:
$$14+5x-x^2\ge 0$$
$$x^2-5x-14\le 0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-7\right)\le 0,$$
откуда $$x\in[-2;7].$$
Так как $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ то произведение будет положительным только при
$$x-3>0,$$
то есть $$x>3,$$ и одновременно $$14+5x-x^2>0.$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x>3,\\ -2<x<7. \end{cases} $$
Получаем $$x\in(3;7).$$
$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\le 0$$
Снова учитываем, что $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ а область определения та же:
$$x\in[-2;7].$$
Произведение не положительно, если либо
$$x-3\le 0,$$
либо корень равен нулю:
$$14+5x-x^2=0.$$
Тогда
$$x\le 3,\quad x\in[-2;7],$$
откуда $$x\in[-2;3].$$
Кроме того, при $$14+5x-x^2=0$$ получаем $$x=-2$$ или $$x=7.$$
Итак,
$$x\in[-2;3]\cup\{7\}.$$
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}>0$$
Область определения корня:
$$16-x^2\ge 0,$$
то есть
$$|x|\le 4.$$
Для положительности произведения нужно, чтобы
$$x^2-25>0,$$
то есть
$$|x|>5.$$
Но одновременно должно выполняться $$|x|\le 4.$$
Таких значений нет.
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}\ge 0$$
Область определения:
$$|x|\le 4.$$
На этой области имеем $$x^2-25<0,$$ а значит произведение может быть неотрицательным только при
$$\sqrt{16-x^2}=0.$$
Тогда
$$16-x^2=0,$$
откуда
$$x=\pm 4.$$