Упр.8.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (x^2-1)v(x^2-4)?0; 3) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10)?0;
2) (x^2-1)v(x^2-4)?0; 4) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10)?0.
$$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}\le 0$$
Область определения: $$x^2-4\ge 0,$$ то есть $$|x|\ge 2.$$
На этой области $$\sqrt{x^2-4}\ge 0,$$ значит произведение не положительно тогда и только тогда, когда
$$x^2-1\le 0.$$
Получаем:
$$x^2\le 1 \quad \Rightarrow \quad |x|\le 1.$$
Пересечение с ОДЗ даёт:
$$\varnothing.$$
Ответ: $$\varnothing.$$
$$\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-4}\ge 0$$
ОДЗ: $$x^2-4\ge 0,$$ то есть $$|x|\ge 2.$$
Так как $$\sqrt{x^2-4}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно при
$$x^2-1\ge 0.$$
Это верно при $$|x|\ge 1.$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$|x|\ge 2.$$
Значит,
$$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
Ответ: $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\le 0$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),$$
$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$
Тогда
$$ (x-1)(x-4)\sqrt{(x-2)(x-5)}\le 0.$$
ОДЗ: $$ (x-2)(x-5)\ge 0,$$ откуда $$x\le 2$$ или $$x\ge 5.$$
Так как $$\sqrt{(x-2)(x-5)}\ge 0,$$ то нужно, чтобы
$$ (x-1)(x-4)\le 0,$$
то есть
$$1\le x\le 4.$$
Пересечение с ОДЗ:
$$[1;2]\cup[5;+\infty)\cap[1;4]=[1;2].$$
Кроме того, при $$x=5$$ корень равен нулю, поэтому это значение тоже подходит.
Итак,
$$[1;2]\cup\{5\}.$$
Ответ: $$[1;2]\cup\{5\}.$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0$$
После разложения получаем:
$$ (x-1)(x-4)\sqrt{(x-2)(x-5)}\ge 0.$$
ОДЗ: $$ (x-2)(x-5)\ge 0,$$ то есть $$x\le 2$$ или $$x\ge 5.$$
Так как $$\sqrt{(x-2)(x-5)}\ge 0,$$ то достаточно рассмотреть знак множителя $$ (x-1)(x-4).$$
Неотрицательность этого выражения выполняется при
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$(-\infty;1]\cup[4;+\infty)\cap\bigl((-\infty;2]\cup[5;+\infty)\bigr)$$
$$=(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[5;+\infty).$$
Ответ: $$(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[5;+\infty).$$
