Упр.8.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$(x+3)(x-1)(x+4)<0$$; 3) $$(1-3x)(x+2)(3-x)<0$$; 2) $$(x-7)(x+8)(x-12)?0$$; 4) $$x(5-x)(6-x)?0$$.

1) $$(x+3)(x-1)(x+4)<0$$

Упорядочим множители по возрастанию корней:

$$(x+4)(x+3)(x-1)<0$$

Нули выражения: $$x=-4,\,-3,\,1.$$

Знаки на промежутках чередуются, поэтому произведение отрицательно при

$$x<-4,\quad -3<x<1.$$

Ответ: $$(-\infty;\,-4)\cup(-3;\,1).$$

2) $$(x-7)(x+8)(x-12)\ge 0$$

Упорядочим множители:

$$(x+8)(x-7)(x-12)\ge 0$$

Нули выражения: $$x=-8,\,7,\,12.$$

Произведение неотрицательно на промежутках

$$-8\le x\le 7,\quad x\ge 12.$$

Ответ: $$[-8;\,7]\cup[12;\,+\infty).$$

3) $$(1-3x)(x+2)(3-x)<0$$

Преобразуем:

$$(1-3x)(x+2)(3-x)=-(3x-1)(x+2)(3-x)=(x+2)(3x-1)(x-3).$$

Тогда

$$(x+2)(3x-1)(x-3)<0.$$

Нули выражения: $$x=-2,\;\frac13,\;3.$$

Следовательно, решение:

$$x<-2,\quad \frac13<x<3.$$

Ответ: $$(-\infty;\,-2)\cup\left(\frac13;\,3\right).$$

4) $$x(5-x)(6-x)\le 0$$

Преобразуем:

$$x(x-5)(x-6)\le 0.$$

Нули выражения: $$x=0,\,5,\,6.$$

Знак произведения не положителен при

$$x\le 0,\quad 5\le x\le 6.$$

Ответ: $$(-\infty;\,0]\cup[5;\,6].$$