Упр.8.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2(x-3)/(x(x-6)) < 1/(x-1); 2) (2x+3)/(x^2+x-12) < 1/2.

1. $$\frac{2(x-3)}{x(x-6)}<\frac{1}{x-1}$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{2x-6}{x(x-6)}-\frac{1}{x-1}<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(2x-6)(x-1)-x(x-6)}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   Раскроем скобки:

   $$\frac{2x^2-2x-6x+6-x^2+6x}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   $$\frac{x^2-2x+6}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   Числитель всегда положителен, так как

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24<0.$$

   Значит, нужно решить неравенство

   $$x(x-1)(x-6)<0.$$

   По знакам множителей получаем:

   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;6).$$

2. $$\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac{1}{2}$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{1}{2}-\frac{2x+3}{x^2+x-12}>0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x^2+x-12-4x-6}{2(x^2+x-12)}>0$$

   $$\frac{x^2-3x-18}{x^2+x-12}>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-3x-18=(x-6)(x+3),$$

   $$x^2+x-12=(x+4)(x-3).$$

   Тогда

   $$\frac{(x-6)(x+3)}{(x+4)(x-3)}>0.$$

   Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,3,\,6.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;0)\cup(1;6)$$

2) $$(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty)$$