Упр.8.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-1)(x-2)^2/(x-3)^3?0;
2) (x-1)^2 (x+2)^3/(x-5)?0;
3) x^2 (x^2-1)/(x-4) > 0.

1. $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0$$

   Так как $$ (x-2)^2\ge 0 $$ и обращается в ноль при $$x=2$$, рассмотрим знак дроби

   $$\frac{x-1}{x-3}\le 0,\qquad x\ne 3.$$

   Критические точки: $$x=1,\; x=3,\; x=2.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in[1;3).$$

2. $$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0$$

   Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$ и обращается в ноль при $$x=1$$, достаточно рассмотреть

   $$\frac{x+2}{x-5}\ge 0,\qquad x\ne 5.$$

   Критические точки: $$x=-2,\; x=5,\; x=1.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty).$$

3. $$\frac{x^2(x^2-1)}{x-4}>0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4}>0,\qquad x\ne 4.$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ и при $$x=0$$ выражение равно нулю, рассматриваем знак дроби

   $$\frac{(x-1)(x+1)}{x-4}>0,\qquad x\ne 0,4.$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1,\;4.$$

   По знакам получаем:

   $$x\in(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

1) $$[1;3)$$; 2) $$(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty)$$; 3) $$(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty)$$.