Упр.8.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-2)(2x+1)^3/((3-x)^4 (1-5x)^5) > 0; 3) x^5 |3x-1|(x+3)/(x-2)?0;
2) (x-3)(5x+2)(x+3)/((x-1)(x+4)^2)?0; 4) (2-x)(4x+3)/((x-3)^3 (x+1)^2)?0.

1. $$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0$$

   Так как $$ (3-x)^4=(x-3)^4 $$ — чётная степень, этот множитель на знак не влияет, но $$x\neq 3$$.
   Знак дроби определяется выражением
   $$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(1-5x)^5}>0.$$
   Поскольку степени нечётные, получаем
   $$\frac{(x-2)(2x+1)}{1-5x}>0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac12,\ \frac15,\ 2,\ 3.$$
   По знакам на промежутках получаем:
   $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right).$$

2. $$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2}\ge 0$$

   Так как $$ (x+4)^2>0 $$ при $$x\neq -4$$, знак дроби определяется выражением
   $$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{x-1}\ge 0,\qquad x\neq -4.$$

   Критические точки: $$x=-3,\ -\frac25,\ 1,\ 3,\ -4.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty).$$

3. $$\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2}\le 0$$

   Множитель $$|3x-1|$$ неотрицателен, поэтому знак выражения определяется дробью
   $$\frac{x^5(x+3)}{x-2}\le 0,$$
   при этом $$x=\frac13$$ даёт значение $$0$$ и входит в ответ, а $$x\neq 2$$.

   Решаем неравенство по знакам:
   $$x\in(-\infty;-3]\cup[0;2).$$
   Также учитываем точку $$x=\frac13$$, она уже входит в промежуток $$[0;2)$$.

4. $$\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2}\le 0$$

   Преобразуем:
   $$2-x=-(x-2),\qquad (x+1)^2>0 \text{ при } x\neq -1.$$
   Тогда
   $$-\frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3}\le 0,$$
   или
   $$\frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3}\ge 0,\qquad x\neq -1.$$

   Критические точки: $$x=-\frac34,\ 2,\ 3,\ -1.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)$$;
2) $$(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-3]\cup[0;2)$$;
4) $$\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty)$$.