Упр.8.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3-x)^3 (x+2)^2 (x-1)(2x-5) < 0; 2) (x^2-4)(x^2+x-2)?0.

1. $$ (3-x)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5)<0 $$

   Так как $$3-x=-(x-3)$$, а степень нечётная, то

   $$ (3-x)^3=-(x-3)^3. $$

   Тогда неравенство равносильно

   $$ -(x-3)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5)<0, $$

   или

   $$ (x-3)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5)>0. $$

   Поскольку $$ (x+2)^2\ge 0 $$ и при $$x=-2$$ выражение обращается в нуль, знак неравенства определяется множителями $$ (x-3)(x-1)(2x-5) $$, а точка $$x=-2$$ не входит в решение.

   Рассмотрим знаки на промежутках, разделённых точками $$-2,\ 1,\ \frac52,\ 3$$. Получаем:

   $$ 1<x<\frac52,\quad x>3. $$

2. $$ (x^2-4)(x^2+x-2)\le 0 $$

   Разложим на множители:

   $$ x^2-4=(x-2)(x+2), $$

   $$ x^2+x-2=(x+2)(x-1). $$

   Тогда

   $$ (x-2)(x+2)^2(x-1)\le 0. $$

   Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то достаточно решить неравенство

   $$ (x-2)(x-1)\le 0, $$

   при этом точка $$x=-2$$ тоже подходит, так как обращает всё выражение в нуль.

   Из неравенства $$ (x-2)(x-1)\le 0 $$ получаем

   $$ 1\le x\le 2. $$

   Добавляем $$x=-2$$.

Ответ

1) $$\left(1;\frac52\right)\cup(3;+\infty)$$

2) $$\{-2\}\cup[1;2]$$