Упр.8.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (1-3x)^3 (x+2)^2 (x+4)^5 (x-3) > 0;
2) (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)?0.

1) Рассмотрим неравенство

$$ (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3) > 0. $$

Преобразуем множители:

$$ 1-3x = -(3x-1), \qquad (x+2)^2 \ge 0. $$

Так как степень у множителя $$ (1-3x)^3 $$ нечётная, а у $$ (x+4)^5 $$ тоже нечётная, знак произведения определяется знаками множителей $$ (3x-1) $$, $$ (x+4) $$ и $$ (x-3) $$, при этом точка $$ x=-2 $$ исключается, так как там произведение равно нулю.

Решаем по промежуткам, учитывая нули множителей: $$ x=-4,\; x=-2,\; x=\frac13,\; x=3. $$

Проверка знаков показывает, что произведение положительно при

$$ x<-4 \quad \text{и} \quad \frac13<x<3, \; x\ne -2. $$

Но точка $$ x=-2 $$ лежит вне промежутка $$ \left(\frac13;3\right), $$ поэтому она не влияет на ответ.

Итак,

$$ x \in (-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right). $$

2) Рассмотрим неравенство

$$ (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)\le 0. $$

Разложим квадратные трёхчлены на множители:

$$ x^2+2x-15=(x+5)(x-3), $$

$$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). $$

Тогда

$$ (x+5)(x-3)(x-1)(x-3)(x-1)\le 0, $$

или

$$ (x+5)(x-3)^2(x-1)^2\le 0. $$

Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$ и $$ (x-1)^2\ge 0 $$ при любых $$ x, $$ знак произведения определяется только множителем $$ x+5. $$

Чтобы произведение было неположительным, нужно:

$$ x+5\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -5, $$

или чтобы произведение обращалось в ноль:

$$ x=1 \quad \text{или} \quad x=3. $$

Следовательно,

$$ x\in(-\infty;-5]\cup\{1,3\}. $$

Ответ

1) $$(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right)$$

2) $$(-\infty;-5]\cup\{1,3\}$$