Упр.8.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1/(x+2)?1; 3) (5x+8)/(4-x) < 2; 2) x/(x+1)?2; 4) 2/(x+3)?1/(x-1).

1. $$\frac{1}{x+2}\le 1$$
   $$\frac{1}{x+2}-1\le 0$$
   $$\frac{1-(x+2)}{x+2}\le 0$$
   $$\frac{-x-1}{x+2}\le 0$$
   $$\frac{x+1}{x+2}\ge 0$$
   Критические точки: $$x=-2,\,-1.$$
   Знак дроби неотрицателен при
   $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty).$$
2. $$\frac{x}{x+1}\ge 2$$
   $$\frac{x}{x+1}-2\ge 0$$
   $$\frac{x-2x-2}{x+1}\ge 0$$
   $$\frac{-x-2}{x+1}\ge 0$$
   $$\frac{x+2}{x+1}\le 0$$
   Критические точки: $$x=-2,\,-1.$$
   Получаем
   $$x\in[-2;-1).$$
3. $$\frac{5x+8}{4-x}<2$$ $$\frac{5x+8}{4-x}-2<0$$ $$\frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0$$ $$\frac{7x}{4-x}<0$$ $$\frac{x}{x-4}>0.$$
   Критические точки: $$x=0,\;x=4.$$
   Тогда
   $$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$$
4. $$\frac{2}{x+3}\ge \frac{1}{x-1}$$
   $$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-1}\ge 0$$
   $$\frac{2(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)}\ge 0$$
   $$\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}\ge 0.$$
   Критические точки: $$x=-3,\;1,\;5.$$
   С учётом знаков получаем
   $$x\in(-3;1)\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty)$$; 2) $$[-2;-1)$$; 3) $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$; 4) $$(-3;1)\cup[5;+\infty)$$.