Упр.8.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (x^2+3x)/(x-5)?28/(x-5); 3) x/(x+3) > 1/2; 5) 2/x-1/(x-1) > 1;
2) 1/x < 1; 4) 1/(x+2) < 3/(x-3); 6) (x-3)/(x+3)?(2x-5)/(4x-3).
$$\frac{x^2+3x}{x-5}\ge \frac{28}{x-5}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{x^2+3x-28}{x-5}\ge 0.$$Разложим числитель на множители:
$$x^2+3x-28=(x+7)(x-4).$$Тогда
$$\frac{(x+7)(x-4)}{x-5}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-7,\;4,\;5.$$Знак выражения неотрицателен на промежутках
$$[-7;4]\cup(5;+\infty).$$$$\frac{1}{x}<1$$
Перенесём в одну сторону:
$$\frac{1-x}{x}<0,$$ или $$\frac{x-1}{x}>0.$$Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1.$$$$\frac{x}{x+3}>\frac12$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2x-(x+3)}{2(x+3)}>0,$$
$$\frac{x-3}{x+3}>0.$$Дробь положительна при
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>3.$$$$\frac{1}{x+2}<\frac{3}{x-3}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{3}{x-3}-\frac{1}{x+2}>0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3(x+2)-(x-3)}{(x+2)(x-3)}>0,$$
$$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0.$$Критические точки: $$x=-\frac92,\,-2,\;3.$$
Знак выражения положителен на промежутках
$$\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty).$$$$\frac{2}{x}-\frac{1}{x-1}>1$$
Перенесём единицу влево:
$$\frac{2}{x}-\frac{1}{x-1}-1>0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(x-1)-x-x(x-1)}{x(x-1)}>0,$$
$$\frac{-x^2+2x-2}{x(x-1)}>0.$$Умножим числитель на $$-1$$:
$$\frac{x^2-2x+2}{x(x-1)}<0.$$Числитель всегда положителен, так как
$$x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0.$$
Значит, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда
$$x(x-1)<0,$$ то есть $$0$$\frac{x-3}{x+3}\le \frac{2x-5}{4x-3}$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{x-3}{x+3}-\frac{2x-5}{4x-3}\le 0.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x-3)(4x-3)-(2x-5)(x+3)}{(x+3)(4x-3)}\le 0.$$Раскроем скобки:
$$\frac{4x^2-15x+9-(2x^2+x-15)}{(x+3)(4x-3)}\le 0,$$
$$\frac{2x^2-16x+24}{(x+3)(4x-3)}\le 0,$$
$$\frac{2(x-2)(x-6)}{(x+3)(4x-3)}\le 0.$$Критические точки: $$x=-3,\;\frac34,\;2,\;6.$$
По знакам получаем:
$$(-3;\tfrac34)\cup[2;6].$$
Ответ
1) $$[-7;4]\cup(5;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$;
4) $$\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty)$$;
5) $$ (0;1) $$;
6) $$(-3;\tfrac34)\cup[2;6]$$.
