Упр.8.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9) > 0; 3) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8) > 0; 5) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8) < 0; 2) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9)?0; 4) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8)?0; 6) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8)?0.

1. $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}>0$$

   Разложим на множители:
   $$x^2+x-20=(x+5)(x-4), \qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

   Тогда
   $$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}>0.$$
   Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется числителем. Получаем:
   $$x<-5 \quad \text{или} \quad x>4,$$
   при этом $$x\ne 3$$ автоматически.

   $$(-\infty;-5)\cup(4;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\le 0$$

   Имеем:
   $$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}\le 0.$$
   Так как знаменатель положителен при $$x\ne 3$$, нужно, чтобы числитель был неположительным:
   $$-5\le x\le 4,$$
   но $$x\ne 3.$$

   $$[-5;3)\cup(3;4].$$

3. $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}>0$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-2x+1=(x-1)^2, \qquad x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$

   Тогда
   $$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}>0.$$
   Числитель неотрицателен и равен нулю только при $$x=1$$, поэтому дробь положительна, когда знаменатель положителен и $$x\ne 1$$:
   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2.$$

   $$(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$

4. $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\ge 0$$

   Получаем:
   $$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}\ge 0.$$
   Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен, либо числитель равен нулю:
   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2 \quad \text{или} \quad x=1.$$

   $$(-\infty;-4)\cup\{1\}\cup(2;+\infty).$$

5. $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}<0$$

   Имеем:
   $$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}<0.$$ Так как числитель неотрицателен, дробь отрицательна только при отрицательном знаменателе и $$x\ne 1$$: $$-4

   $$(-4;1)\cup(1;2).$$

6. $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\le 0$$

   Получаем:
   $$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}\le 0.$$
   Дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен, либо числитель равен нулю:
   $$-4

   $$(-4;1)\cup(1;2).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-5)\cup(4;+\infty)$$;
2) $$[-5;3)\cup(3;4]$$;
3) $$(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)$$;
4) $$(-\infty;-4)\cup\{1\}\cup(2;+\infty)$$;
5) $$(-4;1)\cup(1;2)$$;
6) $$(-4;1)\cup(1;2)$$.