Упр.8.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x-3)^2 (x^2+x-2) < 0; 3) (x-3)^2 (x^2+x-2) > 0;
2) (x-3)^2 (x^2+x-2)?0; 4) (x-3)^2 (x^2+x-2)?0.

Подробный ответ

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$ (x-3)^2(x+2)(x-1)\,\square\,0, $$

где вместо знака $$\square$$ подставляем нужный знак.

Так как $$ (x-3)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$ и обращается в ноль только при $$x=3$$, знак произведения определяется множителем $$ (x+2)(x-1) $$, а точку $$x=3$$ нужно учитывать отдельно для нестрогих неравенств.

$$ (x-3)^2(x^2+x-2)<0 $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)<0, \quad x\ne 3. $$
Отсюда
$$ -2<x<1, \quad x\ne 3. $$
Но $$x=3$$ не входит в этот промежуток, значит
$$ x\in(-2;1). $$
$$ (x-3)^2(x^2+x-2)\le 0 $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)\le 0 \quad \text{или} \quad x=3. $$
Получаем
$$ -2\le x\le 1 \quad \text{или} \quad x=3. $$
Значит,
$$ x\in[-2;1]\cup\{3\}. $$
$$ (x-3)^2(x^2+x-2)>0 $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)>0, \quad x\ne 3. $$
Отсюда
$$ x<-2 \quad \text{или} \quad x>1, \quad x\ne 3. $$
Следовательно,
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(1;3)\cup(3;+\infty). $$
$$ (x-3)^2(x^2+x-2)\ge 0 $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)\ge 0 \quad \text{или} \quad x=3. $$
Получаем
$$ x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 1. $$
Итак,
$$ x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty). $$