Упр.79 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases} x-y=?/3,\\ \cos^2(x)-\cos^2(y)=-\frac{3}{4}; \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} x-y=?/3,\\ \cos(x)\cos(y)=\frac{1}{2}; \end{cases}$$
   
   3) $$\begin{cases} x+y=\frac{1}{3},\\ \sin(?x)+\sin(?y)=1; \end{cases}$$
   
   4) $$\begin{cases} x+y=?/3,\\ \sin(x)\sin(y)=0{,}25. \end{cases}$$

1) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$x-y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=x-\frac{\pi}{3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\cos^2 x-\cos^2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac34.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\left(\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\left(\cos x+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=-\frac34.$$

По формулам приведения:

$$\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6},$$

$$\cos x+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$-4\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-\frac34,$$

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac34,$$

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$2x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},$$

$$y=(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$\left((-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2};\; (-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2) Из первого уравнения:

$$x-y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=x-\frac{\pi}{3}.$$

Подставим во второе:

$$\cos x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Используем формулу:

$$\cos A\cos B=\frac12\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr).$$

Тогда

$$\frac12\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac12,$$

$$\frac12\left(\frac12+\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac12,$$

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Значит,

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем два семейства решений:

$$x=\pi n,\qquad y=\pi n-\frac{\pi}{3};$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad y=\pi n.$$

Ответ: $$\left(\pi n;\, \pi n-\frac{\pi}{3}\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\, \pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

3) Из первого уравнения:

$$x+y=\frac13,\qquad y=\frac13-x.$$

Подставим во второе:

$$\sin(\pi x)+\sin\left(\pi\left(\frac13-x\right)\right)=1.$$

По формуле суммы синусов:

$$2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$\cos\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Следовательно,

$$\pi x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac16+2n,\qquad y=\frac16-2n.$$

Ответ: $$\left(\frac16+2n;\, \frac16-2n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) Из первого уравнения:

$$x+y=\frac{\pi}{3},\qquad y=\frac{\pi}{3}-x.$$

Подставим во второе:

$$\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac14.$$

Используем формулу:

$$\sin A\sin B=\frac12\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).$$

Тогда

$$\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\frac{\pi}{3}\right)=\frac14,$$

$$\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac12\right)=\frac14,$$

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Значит,

$$2x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}-\pi n.$$

Ответ: $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\, \frac{\pi}{6}-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$