Упр.79 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {x-y=?/3, cos^2(x)-cos^2(y)=-3/4};
2) {x-y=?/3, cos(x)cos(y)=1/2};
3) {x+y=1/3, sin(?x)+sin(?y)=1};
4) {x+y=?/3, sin(x)sin(y)=0,25}.

1. $$x-y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=x-\frac{\pi}{3}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\cos^2 x-\cos^2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac34.$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$\bigl(\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\bigr)\bigl(\cos x+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\bigr)=-\frac34.$$

   По формулам приведения и суммы косинусов:

   $$\cos x-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6},$$

   $$\cos x+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$-4\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-\frac34,$$

   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac34,$$

   $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$2x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},$$

   $$y=(-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$x-y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=x-\frac{\pi}{3}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\cos x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

   Используем формулу произведения косинусов:

   $$\cos x\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac12\right)=\frac12,$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

   Значит,

   $$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда получаем две серии решений:

   $$x=\pi n,\qquad y=-\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad y=\pi n.$$

3. $$x+y=\frac13, \qquad y=\frac13-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\sin(\pi x)+\sin\left(\pi\left(\frac13-x\right)\right)=1.$$

   По формуле суммы синусов:

   $$2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

   Так как $$2\sin\frac{\pi}{6}=1,$$ получаем

   $$\cos\left(\pi x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

   Следовательно,

   $$\pi x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac16+2n,\qquad y=\frac16-2n.$$

4. $$x+y=\frac{\pi}{3}, \qquad y=\frac{\pi}{3}-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=0{,}25=\frac14.$$

   Используем формулу произведения синусов:

   $$\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\cos\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$\frac12\left(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac12\right)=\frac14,$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

   Значит,

   $$2x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}-\pi n.$$

Ответ

1) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2};\; (-1)^n\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\pi n;\; -\frac{\pi}{3}+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\; \pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(\frac16+2n;\; \frac16-2n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\; \frac{\pi}{6}-\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$